Абстрактная символика как средство моделирования математических отношений

В последнее время появилось много учебных материалов, предлагающих поисковые методы обучения для развития самостоятельности суждений и мышления у детей, их познавательной активности.

Предлагаемый способ нацелен прежде всего на умственное развитие учащихся, на формирование у них математических способностей. При этом учитывается общая тенденция развития познавательной деятельности младших школьников, которая связана с их переходом от непосредственного реагирования на впечатления к использованию в познавательных действиях общественно выработанных средств, позволяющих абстрагироваться от внешних свойств явлений.

Цель формирования у детей младшего школьного возраста достаточно серьезных обобщений может быть достигнута при условии введения в обучение действий моделирования. Обучая ребенка сначала способу построения модели некоторого явления, а затем способу работы с ней, учитель осуществляет процесс формирования в сознании учащегося соответствующих абстракций, подводит его к обобщению. Освоение действий моделирования начинается с замещения конкретных предметов условными объектами, позволяющими наглядно выделить искомое отношение. Затем выполнение определенных действий с такого рода заместителями приводит к обнаружению свойств отношения.

Младшие школьники часто не в состоянии прийти к общему способу действия, работая с конкретными числами, они могут получить ответ не на основе анализа отношений, а просто манипулируя числами. Замена чисел символами мобилизует мышление ребенка, переводит на более высокий уровень, позволяет избежать формализма знаний.

Абстрактная символика принимается школьниками легко и может быть введена на ранних этапах обучения. Ее появление позволяет ставить перед детьми задачи, нацеленные на обобщение учебного материала, представленного в форме конкретных заданий.

В результате выполнения заданий с абстрактной символикой ребенок понимает, что рассматриваемые символы - это лишь условные знаки. Понимая это, ребенок воспринимает такого рода задания, как игру.

Для абстрактных символов может использовать разные знаки: буквы, геометрические фигуры, «волшебные» или «сказочные» цифры. Работа над выполнением подобного рода заданий дает хорошие результаты, У детей наблюдаются не только высокие показатели успешной учебной деятельности, но и выраженный интерес к учебе.

I. Упражнение направлено на формирование у ребенка умений наблюдать, сравнивать, производить анализ и синтез, обобщать, выделять главное, умение делать вывод.

G, Q, S - "сказочные" цифры.
Если G > Q, то Q ... G.
Если Q = S, то S ... Q.
Если G < Q, то Q ... G.
Если S > G, G > Q, то S ... Q.
Если Q = S, S > G, то Q ... G.

II. Упражнения направлены на умение выразить с помощью символов необходимую информацию, используя математическую логику, на установление соотношения слагаемых и суммы, уменьшаемого, вычитаемого и разности.

а) Сравнить:
7 - 2 = 5          а - в = с          4 1 = 5          G S = Q
7 ... 2              а ... в              4 ... 5               G ... Q
7 ... 5              с ... а              1 ... 5               G ... S
2 ... 5              в ... с              4 ... 1               S ... Q
Задания с абстрактной символикой содержат "ловушку".
Во втором столбике - "в ... с" - нельзя сравнить вычитаемое и разность; в третьем - "G ... S" - нельзя сравнить слагаемые.

б) Восстановить равенства:
3 2 = 5               Q S = G
2 ... = 5              S ... = G
5 - ... = 3               G - ... = Q
... - 3 = 2               ... - Q = S
3 2 = 2 ...        G - Q = ... - Q
5 - 3 = ... - 3          Q S = S ...

III. Упражнения направлены на формирование у детей представления о числовом ряде как модели, фиксирующей взаимодействие количества и порядка. Отрезок числового ряда обозначен абстрактной символикой, и, используя ее, выполняются арифметические действия, как бы в общем виде, опираясь на соотношения чисел в ряду.

1) ... g f h s q p ...

     а) f ... g          q ... p
         h ... q          g ... p
     б) Вписать недостающие числа:
     g 1 = ...          h ... = q
     q - 2 = ...           s - ... = t
     p - ...= s            ... - 2 = h
     0, 1, 2, 3 - в этом "сказочном ряду" пишутся так же, как и в обычном числовом
     ряду.

2) Восстановить ряд: ... a ...

а 1 = t          а 2 = к
а - 1 = p          а - 2 = h
а 3 = g         а - 3 = f

IV. Упражнения направлены на обобщение понятий "число" и "цифра".

1) Определите, чем похожи и чем отличаются числа в каждой паре:
ia и i          tj и j
а0 и аi       tt и а0

2) Определите, по какому признаку можно разбить данные числа на две группы:
ia, ji, is, ja, it, jj, ih.

3)
а) Напишите в тетради числа, в которых:
0 дес.          t ед.
а дес.          0 ед.
а ед.            0 дес.
а ед.            g дес.
0 ед.            а дес.
t дес.           0 ед.

б) Расположите полученные числа в порядке увеличения, если а > t.

Можно использовать задания с абстрактной символикой в проверочных работах.
I.
а) Выполни действия:
17 6          9 13          19 - 8          ht - t
15 4          8 - 4             11- 7          g0 h
2 7            8 - 5            16 - 3          j0 - d

б) Раздели все равенства на 2 группы так, чтобы в каждой паре были равенства, похожие по какому-либо признаку. Запиши каждую группу в столбик и напиши, чем похожи равенства в группах. Постарайся найти несколько решений.

Уровни выполнения задания

1 уровень: найдены три решения.
Показано разбиение:
а) по признаку действия (сложение и вычитание);
б) по составу компонентов действий (все компоненты - однозначные числа или среди компонентов есть и однозначные, и двузначные числа);
в) по уровню сложности (без перехода через десяток и с переходом через десяток).
Оперирование абстрактным материалом свободное, выделение линий анализа и переключение с одной линии анализа на другую на высоком уровне. Ученик способен всесторонне рассмотреть предложенную задачу и найти все возможные решения.

2 уровень: найдены три решения с обычными числами, что говорит о свободном владении мыслительными операциями. Оперирование абстрактным материалом затруднено.
- найдены два решения (с конкретными и абстрактными числами). Оперирование абстрактным материалом, умение выделить линии анализа и переключиться с одной линии на другую развиты достаточно хорошо, но охватить все возможные варианты анализа ученик еще не в состоянии.

3 уровень: найдено одно верное решение. Ученик не способен оперировать абстрактным материалом, может выделить одну линию анализа, но переключиться на другие линии еще не в состоянии.

4 уровень: не найдено ни одного решения.

II. Какие одно-двузначные числа можно записать с помощью цифр G, R, F.

Уровни выполнения задания

1 уровень: найдено 11-12 решений. Характеризует хорошее развитие комбинаторных способностей, применительно к заданию, требующему ориентации на 2 признака и умения наблюдать, сравнивать, проводить анализ.

2 уровень: найдено 4-10 решений. Ученик свободно владеет материалом задания, но владение приемами исчерпывания решений недостаточно сформировано.

3 уровень: найдено 1-3 решения. Ученик воспринимает оба условия, но комбинаторные способности находятся на низком уровне.

4 уровень: ни одного решения. Комбинаторные способности не развиты.

III. Какие математические записи можно сделать, используя числа Q и S (из "сказочного ряда" - ... S V B J G Q W ...) и известные тебе математические знаки?

Уровни выполнения задания

1 уровень: найдены все возможные решения. Числа рассмотрены как компоненты действий сложения, вычитания и как объекты сравнения. Оперирование абстрактными числами свободное, выделение линий анализа и переключение с одной линии анализа на другую на высоком уровне. Ученик способен всесторонне рассмотреть предложенную задачу и найти все возможные решения,

2 уровень: найдены 4 верных решения. Оперирование абстрактным материалом, умение выделить линии анализа и переключиться с одной линии на другую развиты достаточно хорошо, но охватить все возможные варианты анализа ученик еще не в состоянии.

3 уровень: найдено 2 верных решения. Ученик не способен оперировать абстрактным материалом, может выделить одну линию анализа, но переключиться на другие линии не в состоянии.

4 уровень: не найдено ни одного верного решения.