Занимательные задачи Перельмана
Предлагаем нашим юным эрудитам занимательные задачи Я.И. Перельмана (1882 - 1942), замечательного педагога, ученого, популяризатора физики, математики и астрономии.
Сколько мне недель?
Чтобы научиться по числу лет быстро определять число заключающихся в них недель, нужно только уметь ускоренно множить на 52, т. е. на число недель в году.
Задача.
Пусть дано перемножить 36 X 52. "Счетчик" сразу же, без заминки, говорит вам результат: 1872. Как он его получил?
Решение.
Довольно просто: 52 состоит из 50 и 2; 36 умножается на 5 через деление пополам; получается 18 - это две первые цифры результата: далее умножение 36 на 2 делается как обыкновенно; получают 72, которые и приписываются к прежним 18-ти: 1872.
Легко видеть, почему это так. Умножить на 52 - значит умножить на 50 и на 2; но вместо того, чтобы умножить на 50, можно половину умножить на 100 - отсюда понятно деление пополам; умножение же на 100 достигается припиской 72-х (36 X 2), отчего каждая цифра увеличивается в 100 раз (передвигается на два разряда влево).
Теперь понятно, почему "гениальный" счетчик так быстро отвечает на вопрос “мне столько-то лет; сколько мне недель?”. Умножив число лет на 52, ему остается только прибавить еще к произведению седьмую часть числа лет, потому что в году 365 дней, т. е. 52 недели и 1 день: каждые 7 лет из этих избыточных дней накопляется лишняя неделя).
Чеховская головоломка
Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?
Решение.
С тонким юмором описывает Чехов, как беспомощно трудились над этой задачей и семиклассник-репетитор, и его ученик, двенадцатилетний Петя, пока не выручил их Петин отец, Удодов.
Петя повторяет задачу и тотчас же, ни слова не говоря, начинает делить 540 на 138.
- Для чего же вы делите? Постойте! Впрочем, так... продолжайте. Остаток получается? Здесь не может быть остатка. Дайте-ка, я разделю!
Зиберов [репетитор] делит, получает 3 с остатком и быстро стирает.
- Странно...- думает он, ероша волосы и краснея.
- Как же она решается? Гм!... Это задача на неопределенные уравнения, а вовсе не арифметическая.
Учитель глядит в ответы и видит 75 и 63.
- Гм!... странно... Сложить 5 и 3, а потом делить 540 на 8? Так, что ли? Нет, не то!
- Решайте же!- говорит он Пете.
- Ну, чего думаешь? Задача-то ведь пустяковая, говорит Удодов Пете.
- Экий ты дурак, братец! Решите уже вы ему, Егор Алексеич.
Егор Алексеич берет в руки грифель и начинает решать. Он заикается, краснеет, бледнеет.
- Эта задача, собственно говоря, алгебраическая, - говорит он.
- Ее с иксом и игреком решить можно. Впрочем, можно и так решить. Я вот разделил... Понимаете? Или, вот что. Решите мне эту задачу к завтрему... Подумайте...
Петя ехидно улыбается, Удодов тоже улыбается. Оба они понимают замешательство учителя. Ученик VII класса еще пуще конфузится, встает и начинает ходить из угла в угол.
- И без алгебры решить можно,- говорит Удодов, протягивая руку к счетам и вздыхая.
- Вот, извольте видеть...
Он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было.
- Вот-с... по-нашему, по-неученому.
Эта сценка с задачей, заставляющая нас смеяться над конфузом злосчастного репетитора, задает нам сама три новых задачи. А именно:
1. Как намеревался репетитор решить задачу алгебраически?
2. Как должен был решить ее Петя?
3. Как решил ее отец Пети на счетах „по-неученому"?
1. Семиклассник-репетитор готов был решать задачу „с иксом и игреком", будучи уверен, что задача - “собственно говоря, алгебраическая”. И он, надо думать, легко справился бы с ней, прибегнув к помощи системы уравнений (только не неопределенных, как ему казалось).
Составить два уравнения с двумя неизвестными для данной задачи очень нетрудно; вот они:
х + у = 138 5х+Зу = 540, где х - число аршин синего, а у - черного сукна.
2. Однако, задача легко решается и арифметически.
Если бы вам пришлось решать ее, она, конечно, не затруднила бы вас. Вы начали бы с предположения, что все купленное сукно было синее, - тогда за всю партию в 138 аршин синего сукна пришлось бы уплатить 5 X 138 = 690 рублей; это на 690 — 540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешевое, черное сукно по 3 рубля аршин. Дешевого сукна было столько, что из двухрублевой разницы на каждом аршине составилось 150 рублей: очевидно, число аршин черного сукна определится, если разделить 150 на 2.
Получаем ответ - 75; вычтя эти 75 аршин из общего числа 138 аршин, узнаем, сколько было синего сукна: 138 - 75 = 63. Так и должен был решать задачу Петя.
3. На очереди третий вопрос: как решил задачу Удодов-старший?
В рассказе говорится об этом очень кратко: “он щелкает на счетах, и у него получается 75 и 63, что и нужно было”.
В чем же, однако, состояло это “щелканье на счетах”? Каков способ решения задачи с помощью счетов?
Разгадка такова: злополучная задача решается на счетах тем же приемом, что и на бумаге, - теми же арифметическими действиями. Но выполнение их значительно упрощается, благодаря преимуществам, которые наши русские счеты предоставляют всякому, умеющему с ними обращаться. Очевидно, “отставной губернский секретарь” Удодов хорошо умел считать на счетах, потому что их косточки быстро, без помощи алгебры, открыли ему то, чего репетитор-семиклассник добивался узнать “с иксом
и игреком”. Проследим же, какие действия должен был проделать на счетах Петин отец.
Прежде всего ему нужно было, как мы знаем, умножить 138 на 5. Для этого он, по правилам действий на счетах, умножил сначала 138 на 10, - т.е. просто перенес 138 одной проволокой выше, - а затем разделил это число пополам, опять-таки на счетах же. Деление начинают снизу: откидывают половину косточек, отложенных на каждой проволоке; если число косточек на данной проволоке нечетное, то выходят из затруднения, “раздробляя” одну косточку этой проволоки на 10 нижних.
В нашем, например, случае делят 1.380 пополам так: на нижней проволоке, где отложено 8 косточек, откидывают 4 косточки (4 десятка), на средней проволоке из 3 косточек откидывают 1, а оставшуюся 1 косточку заменяют мысленно 10-ю нижними и делят пополам, добавляя 5 десятков к косточкам нижней; на верхней проволоке раздробляют одну косточку, прибавляя 5 сотен к косточкам средней проволоки. В результате на верхней проволоке совсем не остается косточек; на средней 1+ 5 = 6 сотен, на нижней 4 + 5 = 9 десятков. Итого, 690 единиц. Выполняется все это быстро, автоматически. Далее Удодову-старшему нужно было из 690 вычесть 540. Как проделывается это на счетах - всем известно.
Наконец, полученную разность, 150, оставалось разделить пополам: Удодов откинул из 5 косточек (десятков) 2, отдав 5 единиц нижнему ряду косточек; потом из 1 косточки на проволоке сотен отдал 5 десятков нижнему ряду: получилось 7 десятков и 5 единиц, т. е. 75.
Все эти простые действия выполняются на счетах, конечно, гораздо скорее, чем тут описано.
Шуточная задача
Какое число делится на все числа без остатка?
Решение.
Число, которое делится на все числа без остатка, есть произведение всех чисел.
Восхождение на Монблан
Вот еще один интересный подсчет. Если вы спросите почтальона, ежедневно разносящего письма по адресатам, или врача, целый день занятого посещением своих пациентов, совершали ли они восхождение на Монблан, - они, конечно, удивятся такому вопросу. Между тем, вы легко можете доказать каждому из них, что они наверное совершили уже восхождение на высоту, даже превышающую величайшую вершину Альп. Стоит только подсчитать, на сколько ступеней поднимается почтальон ежедневно, восходя по лестнице при разноске писем, или врач, посещая больных. Окажется, что самый скромный почтальон, самый занятой врач, никогда даже и не помышлявшие о спортивных состязаниях, побивают мировые рекорды горных восхождений. Подсчитайте это.
Решение.
Возьмем для подсчета довольно скромные средние цифры; допустим, что почтальон ежедневно посещает только десять человек, живущих кто на втором этаже, кто на третьем, четвертом, пятом - в среднем возьмем на третьем. Высоту третьего этажа примем, для круглого числа, в 10 м: следовательно, наш почтальон ежедневно совершает по ступеням лестниц путешествие на высоту 10 X 10 + 100 м. Высота Монблана 4800 м. Разделив ее на 100, вы узнаете, что наш скромный почтальон выполняет восхождение на Монблан в 48 дней...
Землекопы
Пять землекопов в 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько землекопов в 100 часов выкопают 100 м канавы?
Решение.
На удочку этой задачи легко попасться: можно думать, что если 5 землекопов в 5 часов вырыли 5 м канавы, то для выкопки в 100 часов 100 м понадобюится 100 человек. Однако это соврешенно неправильное рассуждение: понадобятся те же 5 землекопов, не больше.
В самом деле, 5 землекопов в 5 часов выкапывают 5 м; значит, 5 землекопов в 1 час вырыли бы 1 м, а в 100 часов - 100 м.
Пильщики дров
Пильщики распиливают бревно на метровые отрубки. Длина бревна 5 м. Распиловка бревна поперек отнимает каждый раз 1 ½ минуты времени. Во сколько мнут распилили они все бревно?
Решение.
Часто отвечают в 1 ½ х 5, т.е. в 7 ½ минут. При этом забывают, что последний разрез даст 2 метровых отрубка. Значит, распливать 5-метровое бревно поперек придется не 5, а 4 раза на это уйдет всего 1 ½ х 4 = 6 минут.
Столяр и плотники
Бригада из шести плотников и столяра взялась выполнить одну работу. Каждый плотник заработал по 20 рублей, столяр же на 3 рубля больше, чем заработал в среднем каждый из семерых членов бригады. Сколько же заработал столяр?
Решение.
Легко узнать, каков был средний заработок члена бригады; для этого нужно избыточные 3 рубля разделить поровну между 6 плотниками. К 20 рублям каждого надо, следовательно, прибавить 50 копеек, - это и есть средний заработок каждого из семерых.
Отсюда узнаем, что столяр заработал 20 рублей 50 копеек+3 рубля, т.е. 23 рубля 50 копеек.
Сколько машин?
В мастерской отремонтировано в течение месяца 40 машин - автомобилей и мотоциклов. Всех колес выпущено было из ремонта ровно 100. Спрашивается, сколько было в ремонте автомобилей и мотоциклов?
Решение.
Если бы все 40 машин были мотоциклы, то общее число колес равнялось бы 80, т.е. на 20 меньше, чем в действительности. Замена одного мотоцикла автомобилем влечет за собой увеличение общего числа колес на 2: разница уменьшается на 2. Очевдно, надо сделать 10 таких замен, чтобы свести разницу к нулю. Итак, автомобилей было 10, а мотоциклов - 30. Действительно: 10 х 4+30 х 2=100.
Чистка картофеля
Двое очистили 400 штук картофеля; 1 очищал 3 штук в минуту, другой - 2. Второй работал на 25 минут больше первого. Сколько времени работал каждый?
Решение.
За 25 избыточных минут работы второй очистил 2 х 25 = 50 штук. Отняв эти 50 от 400, узнаем, что, работая одинаковое время, оба очистили бы 350 штук. Так как ежеминутно оба вместе очищают 2+3=5 штук, то, разделив 350 на 5, узнаем, что каждый при этом работал 70 минут.Это действительная продолжительность работы первого; второй работал 70+25=95 минут. В самом деле: 3 х 70 +2 х 95 = 400.
Плащ, шляпа и калоши
Некто купил плащ, шляпу а калоши и заплатил за все 140 рублей. Плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 120 рублей больше, чем калоши.
Сколько стоит каждая вещь в отдельности?
Решение.
Если бы вместо плаща, шляпы и калош куплено было только 2 пары калош, то пришлось бы заплатить не 140 рублей, а на столько меньше, на сколько калоши дешевле плаща с шляпой, т.е. на 120 рублей. Мы узнаем, следовательно, что 2 пары калош стоят 140-120 = 20 рублей, отсюда стоимость 1 пары - 10 рублей.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140 - 10 = 130 рублей. Причем плащ дороже шляпы на 90 рублей. Рассуждаем, как прежде: вместо плаща со шляпой купим 2 шляпы. Мы заплатим не 130 рублей, а меньше на 90 рублей. Значит, 2 шляпы стоят 130 - 90 = 40 рублей, откуда стоимость 1 шляпы - 20 рублей.
Стоимость вещей: калоши - 10 рублей, шляпа - 20 рублей, плащ - 110 рублей.
Вес бревна
Круглое бревно весит 30 кг. Сколько весило бы оно, если бы было втрое толще, но вдвое короче?
Решение.
Обыкновенно отвечают, что бревно, увеличенное в толщине вдвое, но вдвое же укороченное, не должно изменить своего веса. Однако это неверно. От увеличения поперечника вдвое объем круглого бревна увеличивается вчетверо: от укорочения же вдвое объем уменьшается всего в 2 раза. Поэтому толстое короткое бревно должно быть вдвое тяжелее длинного тонкого, т.е. весить 60 кг.
В статье использоватны материалы из книги Я.И. Перельмана “Занимательные задачи и опыты” ("Детгиз", 1959 г.), "Занимательная арифметика" ("Время").
