Многоаспектность математики. Автор учебников математики И.И. Аргинская размышляет о том, каким должен быть занковский урок.

В системе Л.В. Занкова используются разные формы обучения, однако основной остается классно-урочная. Несмотря на это, ее конкретное воплощение принципиально отличается от привычных для учителя канонов построения. Это вызывает у учителей, начинающих работать в занковской системе, серьезные трудности, так как хорошо знакомая схема построения моноурока, когда все его основное содержание "привязано" к одной теме, оказывается в данном классе абсолютно несостоятельной.

Одной из характерных особенностей любого урока математики является его многоаспектность - работа сразу над несколькими связанными темами программы. Это нашло отражение и в учебниках, где задания, стоящие рядом, посвящены разным вопросам. Такая структура требует включения в один урок работы с самым разным материалом, продвижения в изучении сразу нескольких тем. Одна из которых для данного урока является ведущей.
Рассмотрим эту позицию на примерах из учебников. Задания учебника 1 класса (часть вторая) предусматривают:
№1. Сравнение чисел и изображение соответствующих им множеств.
№2. Сравнение объектов по изменяющимся и неизменяющимся признакам (первое задание, в котором изменяются два признака).
№3. Работа над каллиграфией (написание цифр 7 и 1).
№4. Выделение "лишнего" (не подходящего к остальным) рисунка на основе анализа рисунков с различных позиций.
№5. Упорядочивание объектов по высоте.
№6. Графический диктант на основе ориентации на плоскости в одном из четырех направлений (вправо, влево, вверх, вниз).
№7.Ориентация на плоскости (первый случай ориентации с сочетанием двух направлений).
№8. Анализ "запутанного" рисунка. Работа над каллиграфией (написание цифр 8, 3, 2, 6).
№9. Знакомство с терминами "расположение в порядке увеличения (возрастания)" и "расположение в порядке уменьшения (убывания)".
№10. Анализ незавершенных рисунков и их идентичное завершение без представленного образца.
Из перечисленного видно, что к основной теме "Упорядочивание" (подготовка к теме "Натуральный ряд чисел") относятся три задания - №1, 5, 9. Между ними располагаются задания, относящиеся к самым разным вопросам, изучение которых начато в первой части учебника, а здесь получает свое развитие.
Задания учебника 2 класса предусматривают:
№1. Сравнение объектов с включением варианта полной идентичности (подготовка к восприятию невидимых признаков сходства и различия).
№2. Восстановление таблицы сложения со значением 5. Анализ закономерности изменения слагаемых.
№3. Однозначные и двузначные числа, их запись. Классификация по самостоятельно выделенному признаку.
№4. Прямые, лучи и отрезки, их сходство и различие. Чтение названий этих линий. Измерение длины отрезков. Черчение прямых, лучей и отрезков. Их название при помощи букв.
№5. Введение понятия "масса"
на основе анализа реальных ситуаций и рисунков.
№6. Таблица сложения со значениями 7 и 8. Классификация выражений. Дополнение групп, которые получились при классификации, на основе выявленной закономерности.
№7. Анализ чертежа. Виды углов - прямой, острый, тупой.
№8. Составление математических рассказов к рисунку.
№9. Знакомство с различными видами весов. Использование двухчашечных весов без гирь для сравнения масс.
№10. Верные неравенства и равенства. Преобразование неравенств в равенства.
Так же как в учебнике 1 класса, здесь к основной теме "Масса" (с. 3-7) относятся задания №1, 5, 9. Остальные посвящены повторению материала, изученного в 1 классе, и продвижению в его дальнейшем изучении.
Задания учебника 3 класса предусматривают: 
№145. Попытки сведения нетабличного умножения к табличному (варианты замены многозначного множителя произведением однозначных и суммой однозначных чисел).
№146. Задача на "разрезание". Составление аналогичных задач.
№147. Составление ряда чисел по названной закономерности.
№148. Измерение и построение углов с помощью транспортира.
№149. Сравнение задач, решаемых сложением и умножением. Умножение счетных единиц (10, 100) на однозначное число.
№150. Сравнение многозначных чисел. Классификация отношений. Создание своих равенств и неравенств.
№151. Решение сложных выражений, установление порядка выполнения действий. Восстановление знаков действий и скобок в выражениях с данными значениями.
№152. Комбинаторная задача на составление чисел из заданных цифр.
№153. Умножение счетных единиц на однозначные числа. Использование для этого таблицы умножения.
№154. Решение задач на установление возраста. Составление задач, обратных данной.
К теме "Внетабличное умножение и деление" (с. 67-70) относятся задания №145, 149, 153. Остальные задания рассматривают ранее изученные темы, расширяют и углубляют знания о них, способствуют формированию умений и навыков.
Задания учебника 4 класса предусматривают:
№49. Поиск способов выполнения умножения многозначного числа на многозначное (варианты замены одного из множителей произведением однозначных чисел или суммой таких чисел).
№50. Задача с избыточными данными, ее преобразование и решение.
№51. Преобразования сложных выражений, не влияющие на их значения.
№52. Свойства квадрата и их использование в практической деятельности.
№53. Определение значений произведений многозначных чисел с помощью сочетательного закона умножения и распределительного закона умножения относительно сложения. Оценка каждого способа.
№54. Задача с недостающими данными, ее преобразование разными способами.
№55. Использование прикидки при сложении многозначных чисел.
№56. Увеличение площади квадрата без смещения фиксированных точек.
№57. Решение неравенств с переменной при помощи соответствующих им уравнений. Графическое отражение области решений неравенств.
№58. Решение задачи разными способами. Выбор рационального способа и его обоснование.
К теме "Умножение многозначных чисел" (с.22-24) относятся задания №49, 53 и 57. Остальные задания посвящены повторению, закреплению и углублению материала других, ранее изученных тем.
При анализе приведенных перечней заданий может создаться впечатление, что ведущая на данном этапе тема "тонет" среди других, но это не так. Работа с выделенными основными заданиями должна занимать главенствующее место и время на уроке. Данные задания требуют подробного обсуждения детьми, вокруг них должны концентрироваться те дополнительные задания, которые учитель считает необходимым включить в урок.
С этих позиций рассмотрим фрагмент хода урока в 4 классе, основным заданием в котором будет №53.
Учитель: Выпишите те произведения, значения которых вы сможете найти, и объясните, какие знания вам помогут.
39•19, 8•7, 193•1, 87•0, 62•18
Дети выполняют задание самостоятельно, после чего учитель вызывает отдельных учеников для объяснения. Ученики объясняют выполнение 2-го, 3-го и 4-го произведений, 1-е и 5-е вызвали затруднение у большей части. После побуждения со стороны учителя несколько учеников находят значение 5-го выражения на основе сочетательного закона умножения, а 1-го - на основе распределительного закона умножения относительно сложения.
Учитель: Выпишите в первый столбик произведения, значения которых можно найти используя сочетательный закон умножения, а во второй - те, значения которых можно найти используя распределительный закон умножения относительно сложения. (Задание №53 в несколько измененном виде.)
128•12, 76•39, 29•31, 1249•84, 397•144, 43•37, 27893•72.
Дети самостоятельно выполняют задание, после чего проводится проверка, в процессе которой ученики объясняют, по каким признакам они находили произведения каждого столбика. Часть детей выполнили задание совершенно верно, другие допустили ошибки. При их исправлении учитель старается добиться объяснения, в чем суть ошибки и почему она была допущена.
Учитель: Значения записанных произведений найдете дома, а сейчас попробуйте придумать по одному примеру к каждому столбику. Когда выполните задание, поменяйтесь тетрадями и проверьте друг у друга работу.
Проверка показала, что ошибки допущены в основном при составлении произведений, значения которых находятся при помощи распределительного закона относительно сложения.
Учитель: Сейчас я предложу вам очень интересное задание. Откройте учебник на с. 23 и прочитайте задание №52/1.
Дети: Двое рабочих изготавливали квадратные паркетные дощечки. Один из них проверял свою работу, сравнивая длину сторон каждой дощечки, и считал, что, если стороны равны, дощечка вырезана верно. Второй сравнивал углы дощечек, и, если все они были прямые, дощечка тоже вырезана верно. Чья проверка более надежна? Объясни свой ответ.
Дети с удовольствием рассуждают
о способах проверки, обсуждают их и приходят к верному выводу: ни та ни другая проверка ненадежны, ведь у квадрата должны быть равны и стороны и углы.
Учитель: Отдохнули? А теперь я предлагаю вам такую работу: прочитайте задания №51, 54, 55 и выберите то из них, которое нравится больше. Начинайте выполнять выбранное задание, а дома его закончите. Вы можете выбрать не все задание, а только его часть.
Дети выбирают каждый то задание или его часть, которое больше нравится или кажется посильным. Учитель никак не влияет на выбор учеников.
Учитель: Наш урок заканчивается. Что на нем было самым главным?
Дети: Самой главной была работа с умножением, ведь мы учились разным способам умножения на многозначное число, а этого мы еще не умеем.
Учитель: Что больше всего понравилось?
Дети: Задача про паркет.
Мы не рекомендуем значительно изменять расположение заданий относительно друг друга (это, естественно, не относится к порядку заданий урока). Многолетний опыт показывает, что именно объединение в одном уроке разных вопросов способствует, с одной стороны, естественной индивидуализации темпа и глубины овладения знаниями, умениями и навыками каждым ребенком, а с другой, позволяет более эффективно использовать время урока.
Это связано с тем, что практически каждое задание учебника включает в себя элементы всех этих этапов, причем особенностью урока является отсутствие четкого разделения на привычные этапы: повторение, изучение нового, закрепление в их неразрывной связи. Это является одним из путей использования в практике принципа осознания процесса учения.
Конечно, в каждом из заданий основной акцент можно поставить на одном из этих направлений работы, но исключать полностью остальные, делая задание односторонним, недопустимо, ведь одной из главных особенностей построения заданий является именно их комплексность.
При построении плана урока мы не рекомендуем стремиться к тому, чтобы он разворачивался как хорошо накатанная гладкая дорога, где каждый следующий отрезок плавно вытекает из предыдущего. Это скорее должна быть прихотливо извивающаяся горная тропа, на которой за каждым поворотом может встретиться новое, неожиданное. Ведь удивление ребенка - главный импульс к познанию.
Чем более разнообразна будет структура уроков, чем неожиданнее и удивительнее будет его начало, тем эффективнее дети будут включаться в учебную деятельность и тем она будет результативнее.
Мы не считаем полезным требовать от учителя разработки планов уроков по какой-либо единой схеме. План урока - это результат свободного творчества учителя, в котором он учитывает особенности детей.
Все сказанное относится к внешней, в какой-то степени формальной стороне урока. Остановимся на внутренних особенностях, к которым мы прежде всего относим работу с материалом урока.
В любой системе обучения на уроке присутствует как репродуктивная, так и продуктивная деятельность школьников. Различие заключается в соотношении между ними. В системе общего развития ведущей является продуктивная деятельность учеников, но для ее реализации всегда требуется репродукция уже имеющихся знаний.
Поскольку в системе основой изучения является самостоятельное добывание знаний учащимися, на первый план выдвигается постановка проблемы, которую дети должны разрешить самостоятельно или с минимальной помощью учителя.
Рассмотрим с этой точки зрения фрагмент урока 4 класса, с которого начинается изучение умножения многозначных чисел.
Учитель: Посмотрите внимательно, что написано на доске, и расскажите, что вы заметили.
На доске запись: 257•6, 498•4, 3769•8, 396•24, 49726•7.
Дети: На доске пять произведений.
Во всех произведениях первые множители - многозначные, а вторые - однозначные.
Нет, это неверно, в четвертом произведении оба множителя - многозначные.
Мы знаем, как умножать на однозначные числа, а как на многозначные - не знаем. Значит, можем узнать значения не всех произведений.
Учитель: Молодцы, все заметили. Запишите и вычислите те произведения, которые умеете.
Дети самостоятельно выполняют задание, затем меняются тетрадями и проверяют работу друг друга.
Учитель: А теперь главное задание: вспомните все свои знания об умножении и постарайтесь найти способ выполнения умножения в оставшемся произведении. Кто хочет, может советоваться друг с другом.
В классе устанавливается напряженная тишина, дети думают, что-то записывают, некоторые тихо переговариваются. Через некоторое время начинают подниматься руки.
Дети: Можно узнать значение суммы из 24 слагаемых, каждое равно 396.
Учитель: Я согласен, так можно, ведь умножение заменяет сложение равных слагаемых.
Дети: Это очень долго складывать, а если слагаемых будет еще больше, то можно и целый день складывать и складывать. Я предлагаю заменить 24 суммой 9 9 6. Тогда получится: 396 • (9 9 6) = 396 • 9 396 • 9 396 • 6 (выходит к доске и делает запись). Дальше нужно найти значения трех получившихся произведений и сложить их.
Учитель: Все поняли, на чем основан предложенный способ?
Дети: Да, он использовал распределительный закон умножения относительно сложения (много голосов).
А у нас другой способ! Мы предлагаем заменить 24 произведением 6 • 4 и сначала умножить 396 на 6, а потом получившееся число на 4. Получится так: 396• (6 • 4) = (396 • 6) • 4 = 2 376 • 4. Так можно поступить, потому что мы знаем сочетательный закон умножения.
Можно еще 24 заменить произведением чисел 8 и 3.
И другие слагаемые можно взять, только бы они были однозначные.
В результате на доске появились записи:
396•24=396•(2•2•6)=(396•2)•2•6=
=(792•2)•6=1584•6=9504;
396•24=396•(6•4)=(396•6)•4=2376•4=
=9504;
396•24=396•(9 9 6)=396•9 396•9
396•6=3564 3564 2376=9504;
396•24=396•(8•3)=(396•8)•3=
3168•3=9504.
Учитель: Откройте учебник на с.22, найдите в задании №49 пункт 4 и внимательно его прочитайте. Если вам что-то непонятно, поднимите руку или обратитесь к друзьям.
Некоторые ученики обращаются к одноклассникам с вопросами, двое поднимают руку и спрашивают, верно ли, что всего представлено 2 способа.
Учитель: Дома еще раз подумайте над разными способами выполнения умножения многозначных чисел и выберите тот, который каждому больше нравится. Все выполните пункт 7, а по желанию 8 задания №49.
7) Используя выбранный способ, найди значения произведений:
873•36, 762•49, 3549•56, 978•45, 69487•63.
8) Предложи другие произведения, в которых удобно использовать выбранный способ.
Приведенные фрагменты урока демонстрирует не только то, как изучается учебный материал, но и атмосферу, в которой это происходит и которая также является третьей особенностью урока в системе. Только при условии доброжелательной, полной взаимного уважения и свободной атмосферы возможно вовлечь учеников в творческую поисковую деятельность, что является целью любого урока в системе Л.В. Занкова.