Математика

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Ряд натуральных чисел. Десятичная система счисления. Запись числа в виде суммы разрядных слагаемых. Римская нумерация как пример непозиционной системы счисления.
Сравнение натуральных чисел, записанных в позиционной системе.
Сложение и вычитание натуральных чисел как перемещение по координатному лучу.
Законы арифметических действий для натуральных чисел. Использование законов действий для рационализации вычислений.
Деление с остатком. Формула деления с остатком.
Степень числа с натуральным показателем. Вычисление значений выражений, содержащих действия трех ступеней.
Округление натуральных чисел.
Нетрадиционные алгоритмы умножения и деления натуральных чисел.

ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Разложение натурального числа на простые множители. Простые и составные числа.
Делители числа. Кратные числа. Общий делитель и общее кратное нескольких чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа.
Делимость суммы, разности, произведения.
Признаки делимости на 2, 5, 10, 4, 9, 3, 6, 12, 15, 18, 36, 45.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ
Образование и запись дробей. Связь дробного числа с делением натуральных чисел.
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Взаимные преобразования между неправильными дробями и смешанными числами.
Основное свойство дроби. Преобразование дроби к новому числителю и новому знаменателю. Сокращение дроби.
Сравнение дробей.
Сложение и вычитание дробей.
Умножение и деление дроби на натуральное число. Нахождение части от числа и числа по его части. Умножение дробных чисел.
Обратные числа. Замена деления умножением на обратное число.
Вычисления в несколько действий с дробными числами.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Понятие десятичной дроби как формы записи дробного числа. Целая и дробная части десятичной дроби.
Преобразование обыкновенной дроби в десятичную дробь и десятичной дроби в обыкновенную.
Запись десятичной дроби по разрядам. Связь с поразрядной записью натурального числа.
Сравнение десятичных дробей.
Арифметические действия с десятичными дробями.
Округление десятичной дроби.
Критерий возможности преобразования обыкновенной дроби в десятичную дробь.
Приближенный перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь. Понятие о периодической дроби.
Вычисление значений выражений с обыкновенными и десятичными дробями.

ПРОЦЕНТЫ
Процент как разновидность дроби. Нахождение процентов от числа и числа по его процентам.
Увеличение и уменьшение числа на заданное число процентов.
Процентное сравнение чисел.
Круговая и столбчатая диаграммы. Анализ данных с использованием процентов.
Процентное содержание вещества в растворе и сплаве.

ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
Понятие отношения чисел и величин. Процентное отношение.
Деление числа в данном отношении.
Равенство отношений. Пропорция. Основное свойство пропорции.
Пропорции с неизвестным членом. Решение пропорций.
Масштаб. Изображение фигур в данном масштабе.
Прямая и обратная пропорциональность.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Отрицательные числа. Изображение отрицательных чисел на координатной прямой. Противоположные числа. Модуль числа.
Сравнение рациональных чисел.
Сложение и вычитание рациональных чисел. Связь с перемещением по координатной прямой.
Умножение и деление рациональных чисел. Возведение рационального числа в степень с натуральным показателем.
Законы действий для рациональных чисел.

СИСТЕМА КООРДИНАТ
Понятие системы координат. Абсцисса и ордината точки. Координатные четверти. Построение точек на координатной плоскости по их координатам.
Геометрические фигуры на координатной плоскости (отре-зок, прямоугольник, треугольник, окружность).
Симметрия точек относительно осей координат и относительно начала координат.

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
Перевод условия задачи на математический язык. Понятие о математической модели.
Эвристический подход к решению текстовой задачи. Угадывание или предварительная оценка ожидаемого результата.
Арифметический и алгебраический способы решения текстовых задач.
Исследование решения текстовой задачи. Влияние данных на решение.
Творческие задания, связанные с составлением задач.
Задачи на части. Задачи на совместное движение двух объектов. Задачи на движение по реке. Задачи на совместную работу и их связь с задачами на движение. Задачи на среднее арифметическое и среднюю скорость. Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.
Задачи на проценты как разновидность задач на части. Задачи на процентное содержание вещества как развитие задач на проценты.
Задачи на прямую и обратную пропорциональность.
Задачи на деление в заданном отношении (в частности, процентном).

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Характерные особенности комбинаторных задач. Решение простейших перечислительных комбинаторных задач (подсчет числа перестановок, размещений, сочетаний). Понятие графа как наглядного метода представления и решения некоторых комбинаторных задач. Понятие о решении комбинаторных задач с помощью перебора вариантов.
Правило умножения в комбинаторике как универсальный метод решения ряда комбинаторных задач (независимый выбор, размещения, перестановки).
Понятие факториала и запись решения комбинаторных задач с помощью факториала.
Логические методы в комбинаторике на примере метода включений и исключений. Решение логико-комбинаторных задач.
Понятие о случайном событии. Понятие о достоверном и невозможном событии. Понятие о вероятности события и о классической формуле вероятности. Решение простейших вероятностных задач.
Связь между комбинаторными и вероятностными задачами.

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ
Числовые и буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения. Понятие формулы.
Решение несложных линейных уравнений с целыми и дробными корнями. Связь с решением текстовых задач.
Понятие о простейших алгебраических неравенствах и их решении.
Пропорция как особый вид уравнения. Методы решения пропорций.
Решение уравнений с отрицательными корнями.

ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ
Отрезок, луч, прямая и их взаимное расположение. Параллельные и перпендикулярные прямые, лучи, отрезки.
Углы и их классификация. Обозначение и измерение углов. Развернутый угол. Биссектриса угла.
Понятие о смежных и вертикальных углах и их основных свойствах.
Окружность и связанные с ней линии и фигуры (радиус, диаметр, дуга, хорда, центральный угол).
Треугольники и их классификация по различным признакам (остроугольные, прямоугольные, тупоугольные; разносторонние, равнобедренные, равносторонние). Сумма углов треугольника (без доказательства). Внешний угол треугольника. Биссектриса, медиана и высота в треугольнике.
Параллелограмм и его основные свойства. Частные случаи параллелограмма (ромб, прямоугольник, квадрат).
Трапеция и ее основные свойства. Виды трапеций.
Ломаная. Многоугольник как замкнутая ломаная. Правильный многоугольник. Построение правильного многоугольника, вписанного в окружность (в простейших случаях).
Понятие осевой и центральной симметрии. Симметричные фигуры.
Понятие длины окружности. Связь с периметром вписанного многоугольника. Формула длины окружности и площади круга (без вывода).
Пространственные фигуры (призма, прямоугольный параллелепипед как частный случай призмы, пирамида, цилиндр, конус). Развертки пространственных фигур.

ТРЕБОВАНИЯ к математической подготовке обучающихся к концу 5 и 6 классов

По разделу «Натуральные числа»
Обучающиеся должны иметь представление:
-о позиционном способе записи натуральных чисел;
- об интерпретации сложения и вычитания как перемещении по координатному лучу.
Обучающиеся должны знать:
- новые термины (позиционная запись числа, алгоритм, квадрат и куб числа, неполное частное, степень).
Обучающиеся должны уметь:
- записывать натуральное число в виде суммы разрядных слагаемых;
- сравнивать натуральные числа;
- выполнять арифметические действия с натуральными числами, включая возведение в степень с натуральным показателем;
- выполнять деление с остатком;
- находить значения числовых выражений, содержащих действия трех ступеней;
- выполнять округление натурального числа с заданной точностью.
 

По разделу «Делимость натуральных чисел»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о делителях и кратных числа;
- об общих делителях и общих кратных нескольких чисел;
- о простых и составных числах и их свойствах;
- о взаимно простых числах и их свойствах;
- о методах доказательства свойств и признаков делимости.
Обучающиеся должны знать:
- новые термины (делители и кратные, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, простые и взаимно простые числа);
- простые числа в пределах сотни;
- свойства делимости (делимость суммы, разности, произведения);
- признаки делимости на 2, 10, 5, 4, 25, 9, 3.
Обучающиеся должны уметь:
- раскладывать натуральное число на простые множители;
- находить делители и кратные натурального числа;
- находить НОК и НОД нескольких чисел;
- распознавать взаимно простые числа;
- пользоваться упомянутыми свойствами и признаками делимости.
 

По разделу «Обыкновенные дроби»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о способах образования дробного числа;
- о классификации дробей (правильные и неправильные);
- о смешанных числах и их связи с неправильными дробями;
- о возможности записи равных между собой дробей различными способами;
- о методах приведения дробей к общему знаменателю;
- о взаимно обратных числах;
- об изменении величины дроби при ее умножении и делении на натуральное число, на правильную и неправильную дробь, на смешанное число.
Обучающиеся должны знать:
- термины, связанные со структурой дробей;
- основное свойство дроби;
- алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления дробей и смешанных чисел.
Обучающиеся должны уметь:
- приводить дробь к другому числителю и знаменателю, в частности, сокращать ее;
- сравнивать между собой дроби;
- преобразовывать смешанное число в неправильную дробь и выделять целую часть неправильной дроби;
- складывать, вычитать, умножать и делить дроби и смешанные числа;
- возводить обыкновенную дробь в степень с натуральным показателем.
 

По разделу «Десятичные дроби»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о поразрядной записи десятичной дроби;
- о возможности преобразования обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь;
- о периодической дроби.
Обучающиеся должны знать:
- термины, связанные со структурой десятичной дроби;
- алгоритм сравнения десятичных дробей;
- алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления десятичных дробей.
Обучающиеся должны уметь:
- преобразовывать обыкновенную дробь в конечную десятичную дробь;
- преобразовывать десятичную дробь в обыкновенную дробь;
- сравнивать между собой десятичные дроби;
- сравнивать десятичные дроби с обыкновенными;
- складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби;
- возводить десятичную дробь в степень с натуральным показателем;
- выполнять арифметические действия в выражениях, содержащих как обыкновенные, так и десятичные дроби;
- преобразовывать обыкновенную дробь в периодическую (в несложных случаях);
- округлять десятичные дроби.
 

По разделу «Проценты»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о проценте, как разновидности дроби.
Обучающиеся должны знать:
- символику и термины, связанные с процентами.
Обучающиеся должны уметь:
- находить проценты от числа и число по его процентам;
- увеличивать и уменьшать число на заданное число процентов;
- находить исходное число, зная увеличенное (уменьшенное) на данное число процентов;
- выполнять процентное сравнение чисел.
 

По разделу «Отношения и пропорции»
Обучающиеся должны иметь представление:
- об отношении чисел и величин;
- о связи основного свойства дроби с равенством отношений;
- о пропорциях с неизвестным членом и о способах их решения;
- о прямой и обратной пропорциональности.
Обучающиеся должны знать:
- термины, связанные с отношениями и пропорциями;
- алгоритм решения пропорций.
Обучающиеся должны уметь:
- составлять отношения и находить среди отношений равные;
- решать пропорции;
- изображать отрезки в данном масштабе и определять масштаб, в котором выполнен чертеж;
- решать задачи на прямую и обратную пропорциональность с помощью пропорции.
 

По разделу «Рациональные числа»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о расширении понятия числа (натуральные, целые, рациональные числа);
- о модуле числа и о противоположных числах.
Обучающиеся должны знать:
- алгоритм сравнения рациональных чисел;
- алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел;
- законы действий для рациональных чисел.
Обучающиеся должны уметь:
- изображать рациональные числа на координатной прямой;
- записывать рациональное число в виде отношения двух целых чисел;
- сравнивать рациональные числа;
- выполнять арифметические действия с рациональными числами;
- использовать законы действий при выполнении вычислений с рациональными числами.
 

По разделу «Система координат»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о способах обозначения положения точки на плоскости;
- о выборе декартовой системы координат как удобном способе обозначения положения точки на плоскости.
Обучающиеся должны знать:
- термины, связанные с системой координат.
Обучающиеся должны уметь:
- находить координаты точки, изображенной на координатной плоскости;
- строить точки на координатной плоскости по заданным координатам;
- находить симметричные точки по их координатам;
- строить на координатной плоскости геометрические фигуры и определять их характеристики (длина, периметр, площадь) в простейших случаях.
 

По разделу «Текстовые задачи»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о математической модели текстовой задачи;
- о классификации текстовых задач по различным признакам (общность сюжета, модели, методов решения);
- о возможности решения текстовых задач различными способами.
Обучающиеся должны уметь:
- находить аналогию между текстовыми задачами с различным сюжетом;
- решать текстовые задачи указанных в программе типов;
- исследовать полученное решение текстовой задачи, проверять решение для частных случаев и при измененных данных;
- придумывать задачу по аналогии, по данной схеме, по математической модели.

По разделу «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о специфике комбинаторных и вероятностных задач;
- о случайных событиях;
- о методах решения простейших комбинаторных и вероятностных задач;
- о связи между комбинаторными и вероятностными задачами.
Обучающиеся должны знать:
- термины, имеющие отношение к комбинаторике и теории вероятностей (граф и название его элементов, событие, вероятность, перестановки, факториал).
Обучающиеся должны уметь:
- решать простейшие перечислительные и логико-комбинаторные задачи;
- решать простейшие вероятностные задачи.

По разделу «Элементы алгебры»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о числовых и буквенных выражениях;
- об уравнениях и методах их решения;
- о существовании уравнений, не имеющих решений и имеющих бесконечно много решений;
- о неравенствах и их решении.
Обучающиеся должны уметь:
- находить числовое значение буквенного выражения;
- решать простейшие уравнения и неравенства.
 

По разделу «Элементы геометрии»
Обучающиеся должны иметь представление:
- о пересекающихся, параллельных и перпендикулярных прямых, лучах и отрезках;
- о различных видах углов (острый, тупой, прямой, развернутый);
- о биссектрисе угла;
- о смежных и вертикальных углах;
- о радиусе, диаметре и хорде окружности;
- о видах треугольников;
- о высоте, биссектрисе и медиане треугольника;
- о параллелограмме, его основных видах и о свойствах этих фигур;
- о трапеции и ее основных свойствах;
- об осевой и центральной симметрии;
- о симметричных и несимметричных фигурах;
- о многоугольниках (в частности, о правильных);
- о постоянстве отношения длины окружности к ее диаметру;
- о числе "пи";
- о развертке пространственных фигур.
Обучающиеся должны знать:
- новые геометрические термины (параллельные и перпендикулярные прямые, лучи и отрезки, развернутый угол, биссектриса угла, смежные и вертикальные углы, хорда и диаметр, равнобедренный и равносторонний треугольник, катет и гипотенуза, биссектриса, медиана и высота треугольника, выпуклые и невыпуклые четырехугольники, параллелограмм, ромб, трапеция, ось симметрии, центр симметрии);
- приближенное значение числа "пи";
- формулы длины окружности и площади круга;
- название основных пространственных фигур.
Обучающиеся должны уметь:
- распознавать и чертить изученные геометрические фигуры;
- решать простейшие геометрические задачи, связанные с изученными фигурами;
- чертить фигуру, симметричную данной относительно прямой и относительно точки (в несложных случаях);
- находить оси симметрии фигур и центр симметрии фигур (в несложных случаях);
- находить по заданному радиусу (диаметру) длину окружности и площадь круга, а также находить радиус по длине окружности.